ПИД-регулятор использует пропорционально-интегрально-дифференциальный закон регулирования. ПИД-регулятор был изобретен еще в 1910 г.; позже, в 1942 г., Зиглер и Никольс разработали методику его настройки, а после появления микропроцессоров в 80-х годах развитие ПИД-регуляторов происходит нарастающими темпами. Общее число публикаций по ПИД-регуляторам за 9 лет с 1973 по 1982 гт, составило 14 работ, с 1983 по 1992 г. — 111 работ, а за период с 1998 по 2002 гг. (за 4 года) — 225 работ. На одном только семинаре IFAC (International Federation of Automatic Control) в 2000 г. было представлено около 90 докладов, посвященных ПИД-регуляторам. Число патентов по этой теме, содержащихся в патентной базе данных в январе 2006 г. составило 365 шт.

ПИД-регулятор относится к наиболее распространенному типу регуляторов. Около 90…95 % регуляторов, находящихся в настоящее время в эксплуатации, используют ПИД-алгоритм. Причиной столь высокой популярности является простота построения я промышленного использования, ясность функционирования, пригодность для решения большинства практических задач и низкая стоимость. Среди ПИД-регуляторов 65 % занимают одноконтурные регуляторы и 36 % — многоконтурные. Контроллеры с обратной связью охватывают 85 % всех приложений, контроллеры с прямой связью — 6 %, контроллеры, соединенные каскадно, — 9 %.

ПИД-регулятор, воплощенный в виде технического устройства, называют ПИД-контроллером. ПИД-контроллер обычно имеет дополнительные сервисные свойства автоматической настройки, сигнализации, самодиагностики, программирования, безударного переключения режимов, дистанционного управления, возможностью работы в промышленной сети и т.д.

Для выполнения качественного регулирования необходимы знания о динамическом поведении объекта управления. Процесс получения (синтеза) математического описания объекта на основе экспериментально полученных сигналов на его входе и выходе называется идентификацией объекта. Математическое описание может быть представлено в табличной форме или в форме уравнений. Идентификация может быть структурной, когда ищется структура математического описания объекта, или параметрической, когда для известной структуры находят значения параметров, входящих в уравнения модели. Когда ищутся параметры модели с известной структурой, то говорят об идентификации параметров модели, а не объекта.

Результатом идентификации может быть импульсная, или переходная характеристика объекта, а также соответствующие им спектральные характеристики, которые представляются в виде таблицы (массива). Эти характеристики могут использоваться в дальнейшем для структурной и параметрической идентификации математической модели объекта регулирования или непосредственно для определения параметров ПИД-регулятора (как, например, в методе Зиглера-Никольса).

Несмотря на разнообразие и сложность реальных объектов управления, в ПИД-регуляторах используются, как правило, только две структуры математических моделей: модель первого порядка с задержкой и модель второго порядка с задержкой. Гораздо реже используются модели более высоких порядков, хотя они могут более точно соответствовать объекту. Существуют две причины, ограничивающие применение точных моделей. Первой из них является невозможность аналитического решения системы уравнений, описывающей ПИД-регулятор с моделью высокого порядка (а именно аналитические решения получили наибольшее распространение в ПИД-регуляторах с автоматической настройкой). Вторая причина состоит в том, что при большом числе параметров и высоком уровне шума измерений количество информации, полученной в эксперименте, оказывается недостаточным для идентификации тонких особенностей поведения объекта. Это проявляется в плохой обусловленности системы линейных алгебраических уравнений, к которой приводит метод наименьших квадратов.

Существуют два способа получения модели объекта управления; формальный и физический. При формальном подходе используют модель типа «черный ящик», в которой не содержится информация о физических процессах, происходящих в объекте, или о его структуре. Синтез формальной модели сводится к выбору одной из небольшого числа моделей, описанных ниже, и идентификации ее параметров,

При физическом подходе модель объекта составляют в виде системы уравнений, описывающих физические процессы в объекте. При этом в качестве параметров модели могут использоваться геометрия объекта, физические параметры материала, фундаментальные физические константы. В физическую модель могут быть добавлены несколько формальных («подстрочных») параметров, которые необходимо определить экспериментально из условия минимизации погрешности моделирования. Достоинством физических моделей является возможность установления аналитической зависимости между параметрами ПИД-регулятора и физическими параметрами объекта регулирования, например зависимости постоянной интегрирования от количества яиц в инкубаторе или от количества жидкости в автоклаве. Другим достоинством физических моделей является то, что в процессе построения физической модели в нее вносится информация о структуре объекта. Наличие в модели информации о структуре объекта позволяет лучше отфильтровать помехи и возмущения в процессе подгонки модели к экспериментальным данным методом наименьших квадратов.

В отличие от физической, формальная модель справедлива только для того набора параметров, который был получен в процессе ее идентификации, При изменении параметров объекта (например, количества яиц в инкубаторе) идентификацию параметров модели нужно выполнять заново.

Для идентификации объекта управления необходимо измерять сигнал на его входе u(t) и реакцию y(t) на выходе. Если входной сигнал подается специально с целью идентификации, то такой эксперимент называется активным. Если же идентификация выполняется путем измерения входных и выходных воздействий в системе в нормальном режиме ее функционирования, такой эксперимент называется пассивным, Идентификацию можно выполнить, подавая тестовый сигнал не только на вход системы, но и в виде изменения нагрузки (например, нагрузки на валу двигателя), а также параметров объекта (например, количества яиц в инкубаторе).

Идентификация в пассивном эксперименте привлекательна тем, что не вносит погрешность в нормальное течение технологического процесса, однако ее достоверность крайне низка в принципе и может привести не к настройке, а расстройке ПИД-регулятора. Тем не менее, число патентов по ПИД-регуляторам с пассивной идентификацией равно числу патентов с активной идентификацией.

При проведении активного эксперимента возникает задача выбора формы тестового воздействия. Наиболее часто для настройки ПИД-регуляторов используют скачок, двойной прямоугольный импульс и синусоидальный сигнал. Используют также прямоугольный импульс, линейно нарастающий сигнал, треугольный импульс, двоичный сигнал, шум, отрезок синусоиды (частотный метод).

Идентификация с помощью широкополосных сигналов, к которым относятся единичный скачок и прямоугольный импульс, не позволяет получить достаточно достоверные результаты в условиях сильных шумов и жестких ограничений на энергию сигнала. Гораздо более высокую точность при малой амплитуде позволяет получить воздействие узкополосным сигналом, в качестве которого используют отрезок синусоидального сигнала. С ростом числа периодов сужается ширина спектра и растет спектральная плотность такого сигнала на частоте колебаний. Благодаря этому появляется возможность использовать узкополосный фильтр для выделения сигнала на фоне помех, что резко повышает достоверность идентификации. Однако при использовании фильтра перед измерением необходимо дождаться окончания переходного процесса, который тем длиннее, чем выше добротность фильтра. Это существенно увеличивает общее время на проведение экспериментов, тем более, что измерения выполняют для нескольких разных частот. Для ускорения процесса можно использовать тестовое воздействие в виде суммы гармонических колебаний с разными частотами, которые затем выделяют несколькими узкополосными фильтрами. Существенным недостатком этого метода является большое время идентификации. Поэтому его чаще используют только для измерения коэффициента передачи и фазового сдвига на частоте, а для идентификация других параметров объекта используют широкополосные тестовые сигналы.

Метод частотной идентификации в замкнутом контуре с релейным регулятором является самым распространенным в коммерческих ПИД-регуляторах с автонастройкой. Этот метод очень давно известен в микроэлектронике как метод кольцевого генератора. Он использует свойство замкнутой динамической системы с отрицательной обратной связью генерировать незатухающие колебания на частоте фазового сдвига —180°.

Идентификацию можно выполнять в замкнутом контуре с обратной связью или в разомкнутом. Идентификация в замкнутом контуре может быть прямой и косвенной. При косвенной идентификации измеряются тестовый сигнал и отклик на него системы с обратной связью, затем путем вычислений по уравнениям системы находится передаточная функция объекта управления. При прямой идентификации передаточная функция объекта находится по измерениям сигналов непосредственно на его входе и выходе.

Если в качестве идентифицирующих воздействий выбирают искусственно созданные возмущения, то такая идентификация называется активной. Если используют сигналы, которые всегда существуют в системе в нормальном режиме ее функционирования, такая идентификация называется пассивной.

Для дальнейшего изложения нам потребуются уравнения замкнутой системы с ПИД-регулятором.

В системе три входа (три источника сигналов): r, rf, n и два выхода (две зависимые переменные и, у).

Заметим, что и далее все переменные являются изображениями по Лапласу соответствующих временных функций, Р — Р(s) и R = R(s) — передаточные функции объекта регулирования и регулятора- Случайные внешние воздействия d = d (s) и п = п (s) заданы как изображения реализаций случайных процессов.

После того как найдена передаточная функция объекта управления или его импульсная (или переходная) характеристика, возникает задача определения параметров модели объекта управления. Существует два подхода к решению этой задачи: аналитический (по формулам) и с помощью численных методов оптимизации. Преимуществом аналитической идентификации является низкая вычислительная сложность, что позволяет использовать ее в ПИД-регулятора с маломощными контроллерами, но она позволяет идентифицировать параметры только очень простых моделей. Идентификация численными методами используется в универсальных программных пакетах, которые продаются независимо от ПИД-регуляторов и применяются для их настройки с помощью персональных компьютеров.

Идентификация модели первого порядка по средней длительности переходного процесса. В случае, когда переходный процесс описывается моделью первого порядка с задержкой, его длительность нельзя характеризовать одним параметром «постоянная времени», как для процессов без задержки. Поэтому используется понятие «средняя длительность переходного процесса» (average residence time).

Используя понятие средней длительности переходного процесса, можно сформулировать один из вариантов критерия, при котором кривые объекта модели первого порядка можно считать приблизительно совпадающими. Это условие состоит в пересечении переходных характеристик модели и объекта.

Описанные методы расчета параметров моделей по формулам удобны тем, что идентификация выполняется очень просто и может быть реализована в маломощном микропроцессоре. Однако их существенными недостатками являются: невозможность (или чрезмерная сложность) идентификации параметров моделей выше 1-го порядка; большая погрешность метода; отсутствие фильтрации шумов в процессе идентификации.

Более качественные результаты могут быть получены при использовании численных методов оптимизации. Для их выполнения составляется критериальная функция, которая характеризует степень близости между откликом модели и откликом объекта на одно и то же входное воздействие. Такой выбор критериальной функции не является единственным. Могу г быть использованы, например, модуль максимального отклонения, модуль от арифметического среднего и др, Различные критерии дадут слегка отличающиеся значения параметров модели. Однако среднеквадратичный критерий имеет замечательное свойство: он дает максимально правдоподобную оценку искомых параметров. Иначе говоря, если ввести понятие вероятности того, что полученная кривая проходит так, как истинные данные в отсутствие шума, то при использовании среднеквадратического критерия эта вероятность будет максимальной. Это справедливо, если данные, полученные при измерениях, являются статистически независимыми величинами (т.е. если интервал между отсчетами выбран больше, чем время корреляции шума), если отсутствует систематическая погрешность измерений, если измерения распределены по нормальному закону (Гаусса) и параметры этого распределения; одинаковы для всех тачек на кривой y(t). В этом случае задача минимизации совпадает с задачей оптимальной фильтрации сигнала y(t) на фоке шума. Иначе говоря, процесс минимизации критерия является одновременно процессом оптимальной фильтрации, поэтому применение дополнительных фильтров нижних частот приводит не к уменьшению, а к увеличению погрешности идентификации.

В частном случае пропорциональная, интегральная или дифференциальная компоненты могут отсутствовать и такие упрощенные регуляторы называют П-, И- или ПИ-регуляторами.

Между параметрами выражений существует простая связь. Однако отсутствие общепринятой системы параметров часто приводит к путанице, Это нужно помнить при замене одного контроллера на другой или использовании программ настройки параметров.

На систему автоматического регулирования могут воздействовать внешние возмущения. Внешние возмущения (влияние нагрузки, изменение температуры окружающей среды, ветер, течение воды и т.п.) обычно распределены пространственно по объекту, однако для упрощения анализа их моделируют сосредоточенным источником d(s), приложенным к входу или источником d(s)F(s), приложенным к выходу объекта. Источник шума n(s) моделирует погрешность измерений выходной переменой у погрешность датчика, а также помехи, воздействующие на канал передачи сигнала с выхода системы на ее вход.

Как следует из полученной формулы, влияние возмущений d снижается с ростом петлевого усиления КРК и при КРК > 1 обратно пропорционально коэффициенту регулятора К. Однако проблема устойчивости не позволяет выбирать К как угодно большим.

В ПИ-регуляторе только постоянная дифференцирования равна нулю.

ПИ-регулятора можно получить, если отбросить правую ветвь АЧХ с наклоном +19 дБ /дек. При этом сдвиг фаз на частотах выше 1 Гц не превысит уровень 0°. Таким образом, ПИ-регулятор имеет два существенных положительных отличия от И-регулятора: во-первых, его усиление на всех частотах не может стать меньше К, следовательно, увеличивается динамическая точность регулирования, во-вторых, по сравнению с И-регулятором он вносит дополнительный сдвиг фаз только в области низких частот, что увеличивает запас устойчивости замкнутой системы. Оба фактора дают дополнительные степени свободы для оптимизации качества регулирования. В то же время, как и в И-регуляторе, модуль коэффициента передачи регулятора с уменьшением частоты стремится к бесконечности, обеспечивая тем самым нулевую ошибку в установившемся режиме. Отсутствие сдвига фаз на высоких частотах позволяет увеличить скорость нарастания управляемой переменной (по сравнению с И-регулятором) без снижения запаса устойчивости. Однако это справедливо до тек пор, пока пропорциональный коэффициент К не станет настолько большой, что увеличит усиление контура до единицы.

Следует отметить, что в отличие от П-регулятора, в котором ошибка остается в установившемся режиме, наличие интегрального члена в ПИ-регуляторе сводит эту ошибку в идеальном регуляторе до нуля, как в И-регуляторе.

Однако появление пропорционального коэффициента приводит к затягиванию переходного процесса по сравнению с И-регулятором.